CHÚ THÍCH 2: Trong Bảng 1 và các ví dụ dưới đây, đơn vị của các quan trắc được bỏ qua vì chúng không thích hợp cho các phép thử trong tiêu chuẩn này.

Bằng cách kết hợp xác suất

P_k = (k - 3/8)/(n + 1/4)

với giá trị x_(k) nhỏ nhất thứ k, thu được loạt các điểm thể hiện trên Hình 2a). Có thể thấy ngay từ đồ thị là các điểm này không tạo thành đường thẳng. Tuy nhiên, nếu x_(k) được thay bằng lg(10x_(k)) thì đồ thị mới [Hình 2b)] dẫn đến một loạt các điểm lúc này nằm khá gần với đường thẳng.

Do đó, giả thuyết về phân bố chuẩn của logarit của các quan trắc có vẻ thích hợp.

5.4. Cần chú ý rằng các giá trị quan trắc cực trị có phương sai lớn hơn các giá trị ở giữa. Do đó và vì thang đo tần suất tích lũy mở rộng về phía các cực trị, nên một số ít giá trị nằm ở một trong hai đầu của phân bố tích lũy tách biệt khỏi đường thẳng xác định bởi các giá trị ở giữa không được coi là chỉ thị sai lệch so với phân bố chuẩn.

Cỡ mẫu càng lớn thì các kết luận có thể rút ra từ hình dạng của đồ thị càng đáng tin cậy.

Nếu đồ thị hàm phân bố tích lũy của các giá trị quan trắc trong đó các giá trị lớn có xu hướng nằm phía dưới đường thẳng xác định bởi các giá trị khác thì việc chuyển đổi như

y = log x

...

...

...

thường sẽ dẫn đến đồ thị phù hợp hơn với đường thẳng [xem Hình 2b) và Hình 5].

Phần trên của các Hình 3 đến 7 cho thấy hàm phân bố tích lũy so sánh với hàm mật độ tương ứng thể hiện trong phần dưới của mỗi hình.

Nếu đồ thị hàm phân bố tích lũy của các giá trị quan trắc như thể hiện trên Hình 3 hoặc 4 thì phân bố tần suất tương ứng là của độ nhọn bè (platykurtic) hoặc của độ nhọn tù (leptokurtic).

Đồ thị hàm phân bố tích lũy thể hiện trên Hình 5 và 6 ứng với hàm mật độ có độ bất đối xứng dương và độ bất đối xứng âm.

Hình 7 thể hiện hàm phân bố tích lũy và hàm mật độ của sự xếp chồng hai hàm mật độ khác nhau.

Hình 3 - Hàm mật độ với độ nhọn bè

...

...

...

Hình 5 - Hàm mật độ với độ bất đối xứng dương

Hình 6 - Hàm mật độ với độ bất đối xứng âm

Hình 7 - Xếp chồng của hai hàm mật độ khác nhau

6. Kiểm nghiệm có hướng

6.1. Quy định chung

6.1.1. Kiểm nghiệm có hướng xem xét ở đây chỉ liên quan đến đặc trưng độ nhọn hoặc độ bất đối xứng trong phân bố của các quan trắc. Chúng dựa trên thực tế là trong trường hợp biến ngẫu nhiên chuẩn X có trung bình m = E(X), mômen trung tâm bậc ba là

...

...

...

mômen trung tâm chuẩn hóa bậc ba là

             …(3)

và mômen trung tâm chuẩn hóa bậc bốn là

                                                      …(4)

trong đó

m ₂ = E[(X - m)²]                                                ...(5)

m₄ = E[X - m)⁴]                                                ...(6)

 là bất đối xứng của tổng thể và có thể lớn hơn, bằng hoặc nhỏ hơn không;

b₂ là độ nhọn của tổng thể và luôn dương;

...

...

...

bất đẳng thức  luôn đúng.

6.1.2. Trong kiểm nghiệm độ bất đối xứng, đối giả thuyết là

H₁:m₃ > 0

hoặc, tương ứng

>0

có nghĩa là bất đối xứng dương (xem Hình 5) hoặc

H₁:m₃ < 0

hoặc, tương ứng

< 0

...

...

...

Nói chung, phân bố có bất đối xứng dương có sự phân tán cao hơn giữa các giá trị biến lớn so với giữa các giá trị biến nhỏ; ngược lại là trường hợp bất đối xứng âm.

6.1.3. Trong kiểm nghiệm độ nhọn, đối giả thuyết là

H₁:b₂ > 3

có nghĩa là độ nhọn tù (hàm mật độ leptokurtic) (xem Hình 4) hoặc

H₁:b₂ < 3

có nghĩa là độ nhọn bè (hàm mật độ platykurtic) (xem Hình 3).

So với phân bố chuẩn, phân bố có độ nhọn tù có xu hướng có nhiều giá trị biến gần với trung bình và hướng tới hai phía cực trị. Ngược lại là trường hợp độ nhọn bè.

6.1.4. Việc sử dụng kiểm nghiệm có hướng chỉ hợp lý khi có thông tin cụ thể về cách thức phân bố thực khác biệt so với phân bố chuẩn. Thông tin này có thể có được từ tính chất tự nhiên của dữ liệu hoặc loại nhiễu có thể ảnh hưởng tới quá trình tạo dữ liệu.

Ví dụ, thực tế là biến không âm, có trung bình gần với không so với giá trị độ lệch chuẩn, có thể là lý do của bất đối xứng dương của phân bố thực. Tương tự, nhiễu bất kỳ trong quá trình tạo dữ liệu có thể gây ra sự pha trộn các tổng thể chuẩn của cùng một trung bình nhưng khác phương sai dẫn đến phân bố không chuẩn có b₂ > 3.

...

...

...

6.1.6. Nếu x₁, x₂,… x_n là loạt các quan trắc thì

                                                …(7)

                                                …(8)

trong đó j = 2, 3, 4

và thống kê kiểm nghiệm độ bất đối xứng và độ nhọn tương ứng là các đại lượng

                                                …(9)

và

                                                …(10)

6.2. Kiểm nghiệm có hướng sử dụng độ nhọn

...

...

...

Nếu đối giả thuyết gồm bất đối xứng dương thì chỉ nên tiến hành kiểm nghiệm nếu m₃ > 0. Mặt khác, nếu đối giả thuyết gồm bất đối xứng âm thì chỉ nên tiến hành kiểm nghiệm nếu m₃ < 0.

Trong hai trường hợp bất đối xứng, kết luận theo hướng bác bỏ giả thuyết không ở mức ý nghĩa a nếu thống kê  vượt quá p-phân vị đối với p = 1 - a.

Bảng 8 thể hiện thống kê kiểm nghiệm p-phân vị này đối với p = 1 - a trong đó a = 0,05 và a = 0,01 và cỡ mẫu n = 8(1)10, 12, 15(5)50(10)100(25)200(50)1000(200)2000(500)5000.

VÍ DỤ 1: Ví dụ về việc sử dụng kiểm nghiệm có hướng đối với độ bất đối xứng sử dụng  như sau đây. Bảng 2 đưa ra 50 giá trị đo độc lập độ sâu của dác gỗ trong các tấm gỗ dự kiến dùng làm nút điện báo. Vì độ sâu của dác gỗ là một đặc trưng có giá trị không âm về cơ bản gần với “không” nên có thể giả định bất đối xứng dương. Do đó, cần thực hiện kiểm nghiệm có hướng thích hợp với đối giả thuyết

Vì vậy, từ các giá trị quan trắc liệt kê trong Bảng 2, tính được:

(1,25 + 1,35 + … + 5,10)/50 = 2,873

[(1,25 - 2,873)² + … + (5,10 - 2,873)²)]/50 = 0,937 921

[(1,25 - 2,873)³ + … + (5,10 - 2,873)³)]/50 = 0,254 559

...

...

...

= 0,280

Với mức ý nghĩa a = 0,05, nghĩa là p = 1 - a = 0,95 và n = 50, giá trị tới hạn của thống kê kiểm nghiệm là 0,53 (xem Bảng 8). Giá trị này lớn hơn  tính được; do đó, giả thuyết không về phân bố chuẩn không bị bác bỏ ở mức ý nghĩa lựa chọn.

Bảng 2 - Độ sâu dác gỗ

1,25

1,35

1,40

1,50

1,55

...

...

...

1,75

1,75

1,85

1,95

2,05

2,10

2,15

2,15

2,15

...

...

...

2,20

2,25

2,35

2,40

2,55

2,60

2,60

2,70

2,75

...

...

...

2,80

2,95

2,95

3,00

3,05

3,10

3,15

3,15

...

...

...

3,30

3,45

3,50

3,50

3,80

3,90

4,00

4,00

...

...

...

4,05

4,10

4,20

4,45

4,50

4,70

5,10

CHÚ THÍCH: Dãy giá trị sắp xếp theo thứ tự không giảm của 50 quan trắc.

...

...

...

Phép kiểm nghiệm này áp dụng cho n ≥ 8; tuy nhiên, vì lý do thực tế, Bảng 9 giới hạn ở n ≤ 5000.

Trong kiểm nghiệm độ nhọn tù, đối giả thuyết là

H₁:b₂ > 3

Đối giả thuyết phải bị bác bỏ ở mức ý nghĩa xác định trước, ví dụ, a = 0,05 hoặc 0,01 nếu giá trị b₂ tính được vượt quá giá trị tới hạn của thống kê kiểm nghiệm ứng với p phân vị đối với p = 1 - a = 0,95 hoặc p = 1 - a = 0,99 và cỡ mẫu n.

Trong kiểm nghiệm độ nhọn bè, đối giả thuyết là

H₁:b₂ < 3

Đối giả thuyết phải bị bác bỏ ở mức ý nghĩa xác định trước, ví dụ, a - 0,05 hoặc 0,01 nếu giá trị b₂ tính được nhỏ hơn giá trị tới hạn của thống kê kiểm nghiệm ứng với p phân vị đối với p = a = 0,05 hoặc p = a = 0,01 và cỡ mẫu n.

Bảng 9 thể hiện giá trị tới hạn của thống kê kiểm nghiệm b₂ đối với p = 0,01, 0,05, 0,95 và 0,99 và cỡ mẫu n = 8(1)10, 12, 15(5)50(25)150(50)1000(200)2000(500)5000.

VÍ DỤ 2: Ví dụ về việc sử dụng kiểm nghiệm có hướng sử dụng độ nhọn b₂ như sau đây. Bảng 3 đưa ra 50 giá trị đo độc lập, một số trong số đó bị nghi ngờ chịu tác động của lỗi thiết bị đo, lỗi dẫn đến biến động trong sự phân tán của các kết quả đo này.

...

...

...

H₁:b₂ > 3

Bảng 3 - Loạt 50 quan trắc bị nghi ngờ chịu ảnh hưởng của sự biến động về độ phân tán của các phép đo

9,5

14,4

10,2

4,2

17,1

4,4

4,5

...

...

...

9,9

7,7

5,1

5,8

9,2

12,9

6,3

3,1

12,9

...

...

...

11,4

5,9

5,7

10,8

22,5

5,5

8,6

7,4

6,9

...

...

...

3,6

7,3

16,6

20,9

21,5

9,1

11,9

12,9

26,6

...

...

...

5,4

32,0

12,9

13,3

8,5

3,3

1,4

12,9

16,3

...

...

...

11,4

6,0

Vì vậy, từ các giá trị quan trắc liệt kê trong Bảng 3, tính được:

 = (9,5 + 14,4 + ... + 6,0)/50 = 10,542

m₂ = [(9,5 - 10,542)² + ... + (6,0 - 10,542)²]/50 = 37,996 4

m₄ = [(9,5 - 10,542)⁴ + ... + (6,0 - 10,542)⁴]/50 = 7 098,04

Do đó

Với mức ý nghĩa a = 0,05, nghĩa là p = 1 - a = 0,95 và cỡ mẫu n = 50, giá trị tới hạn của thống kê kiểm nghiệm là 3,99 (xem Bảng 9). Vì giá trị tính được b₂ = 4,916 lớn hơn giá trị tới hạn này nên giả thuyết không bị bác bỏ thiên về đối giả thuyết ở mức ý nghĩa a = 0,05. Điều này có nghĩa là phân bố của các giá trị quan trắc bị xáo trộn và cho thấy độ nhọn tù.

...

...

...

7. Kiểm nghiệm sử dụng đồng thời  và b2 (kiểm nghiệm đa hướng)

Kiểm nghiệm này áp dụng cho cỡ mẫu 20 ≤ n ≤ 1 000.

7.1. Trong trường hợp này; đối giả thuyết là về phân bố có độ bất đối xứng khác không và/hoặc độ nhọn khác với của phân bố chuẩn, với hướng độ lệch không được quy định:

H₁: ¹ 0 và/hoặc b₂ ¹ 3

Không thể phân biệt được các kết hợp khác nhau

 ¹ 0 và b₂ = 3

hoặc

 ¹ 0 và b₂ ¹ 3

hoặc

...

...

...

Kiểm nghiệm là đa hướng vì nó dự kiến mang lại sự kết hợp độ bất đối xứng khác “không”  ¹0) và/hoặc độ nhọn b₂ ¹ 3.

Chú ý là, do lựa chọn thống kê, kiểm nghiệm kết hợp này không được coi là kiểm nghiệm vô hướng theo nghĩa chặt chẽ. Vì đối với kiểm nghiệm có hướng, việc sử dụng chỉ được đánh giá bằng các xem xét theo tính chất của quan trắc hoặc quá trình tạo ra chúng.

7.2. Thống kê kiểm nghiệm của phép kiểm nghiệm này tạo bởi cặp giá trị  và b₂ xác định trong công thức (9) và (10) (ở 6.1.6). Theo giả thuyết không về tính chuẩn, trong hệ trục tọa độ ở || và b₂, các vùng quanh điểm (0; 3) có thể được rút ra trong đó chứa điểm (, b₂) với xác suất p. Các đường cong mô tả các vùng này được cho trên Hình 9a) (p = 0,95) và Hình 9b) (p = 0,99) đối với cỡ mẫu n = 20(5)65(10)85,100,120,150(50)300,500,1000.

Ở mức ý nghĩa a = 1 - p, miền tới hạn của kiểm nghiệm được hình thành bởi các điểm nằm ngoài đường cong ứng với cỡ mẫu n.

VÍ DỤ 3: Kiểm nghiệm kết hợp sử dụng  và b₂ có thể áp dụng cho dữ liệu của ví dụ 2.

Từ các giá trị quan trắc liệt kê trong Bảng 3, tính được:

m₃ = [(9,5 - 10,542)³ + . . . + (6,0 - 10,542)³/50 = 308,106

Do đó

...

...

...

Vì vậy, giả thuyết không về phân bố chuẩn bị bác bỏ ở mức ý nghĩa này thiên về đối giả thuyết. Điều này nghĩa là phân bố của đặc trưng đo được xét không phải là phân bố chuẩn.

8. Kiểm nghiệm vô hướng

8.1. Quy định chung

8.1.1. Khi không có thông tin tiên nghiệm cơ bản liên quan đến loại sai lệch so với phân bố chuẩn được giả định thì khuyến nghị sử dụng phép kiểm nghiệm vô hướng.

8.1.2. Hai phép kiểm nghiệm vô hướng được trình bày trong tiêu chuẩn này: kiểm nghiệm Shapiro-Wilk và kiểm nghiệm Epps-Pulley. Có rất ít lựa chọn giữa chúng. Quy tắc ngón tay cái là chọn kiểm nghiệm Shapiro-Wilk khi có sẵn lịch sử trước đó gợi ý là đối giả thuyết phân bố đối xứng gần đúng với độ nhọn bè (ví dụ  < ½ và b₂ < 3) hoặc từ phân bố bất đối xứng (ví dụ  > ½), nếu không thì chọn kiểm nghiệm Epps-Pulley.

8.2. Kiểm nghiệm Shapiro-Wilk

Phép kiểm nghiệm này áp dụng cho 8 ≤ n ≤ 50. Các cỡ mẫu nhỏ, với n < 8, không hiệu quả lắm trong việc phát hiện sai lệch so với phân bố chuẩn.

Kiểm nghiệm Shapiro-Wilk dựa trên hồi quy các thống kê thứ tự theo giá trị dự kiến của chúng. Đây là phân tích kiểm nghiệm dạng phương sai đối với mẫu đầy đủ. Thống kê kiểm nghiệm là tỷ số giữa bình phương tổ hợp tuyến tính các thống kê thứ tự mẫu với ước lượng phương sai thông thường.

Kiểm nghiệm này dựa trên các quan trắc theo thứ tự. Nếu, như trong 5.3, loạt n các quan trắc độc lập sắp xếp theo thứ tự không giảm được thiết kế bởi x₍₁₎, x₍₂₎,… x_(n) thì đại lượng S được tính:

...

...

...

trong đó chỉ số k có giá trị 1 đến n/2 hoặc 1 đến (n - 1)/2 tùy theo n chẵn hay lẻ, và trong đó các hệ số a_k có giá trị đặc biệt đối với cỡ mẫu n. Giá trị của a_k được liệt kê trong Bảng 10 và thống kê kiểm nghiệm là đại lượng

W = S²/(nm₂)                                                … (12)

Nếu một số quan trắc bằng nhau thì loạt theo thứ tự được liệt kê bằng cách lặp lại các quan trắc bằng nhau tương ứng với số lần xuất hiện của chúng trong loạt ban đầu.

Ở mức ý nghĩa a = p, miền tới hạn của kiểm nghiệm được hình thành bởi các giá trị nhỏ hơn p phân vị đối với p = a. Bảng 11 thể hiện p phân vị của thống kê kiểm nghiệm W đối với p = a = 0,01 và p = a = 0,05.

VÍ DỤ 4: Ví dụ về việc sử dụng kiểm nghiệm Spapiro-Wilk như sau đây. Bảng 4 thể hiện loạt theo thứ tự gồm 44 giá trị độc lập lượng mưa hàng năm thu được tại trạm khí tượng.

Để thuận lợi cho việc tính toán, các giá trị

 và

được trình bày trên cùng một dòng. Từ Bảng 4 giá trị sau đây được tính:

/44= 34545 / 44 = 785,114

...

...

...

Hệ số a_k được lấy từ Bảng 10 đối với n = 44 và được đưa ra trong Bảng 4, do đó, cho

 = 0,387 2 x 554 + 0,266 7 x 500 + ... + 0,004 2 x 9 = 787,263

Do đó

  = (787,262 7)²/630 872,43 = 0,982

Bảng 11 thể hiện p phân vị đối với n = 44 và p = a = 0,05 bằng 0,944. Vì giá trị này nhỏ hơn giá trị của W nên giả thuyết không không bị bác bỏ ở mức ý nghĩa 0,05.

Bảng 4 - Lượng mưa hàng năm thu được ở trạm khí tượng

k

x_(k)

x_(n+1-k)

...

...

...

a_k

1

2

3

4

5

6

7

...

...

...

9

10

11

12

13

14

15

...

...

...

17

18

19

20

21

22

520

556

...

...

...

616

635

669

686

692

704

707

...

...

...

713

714

719

727

735

740

744

745

...

...

...

776

777

1074

1056

963

952

926

...

...

...

904

900

889

879

873

862

851

837

...

...

...

826

822

821

794

791

786

786

...

...

...

500

402

336

291

253

218

208

185

...

...

...

162

149

137

118

107

91

82

...

...

...

49

41

10

9

0,387 2

0,266 7

0,232 3

0,207 2

...

...

...

0,169 5

0,154 2

0,140 5

0,127 8

0,116 0

0,104 9

0,094 3

...

...

...

0,074 5

0,065 1

0,056 0

0,047 1

0,038 3

0,029 6

0,021 1

...

...

...

0,004 2

CHÚ THÍCH: Loạt theo thứ tự gồm 44 quan trắc và các giá trị a_k tương ứng.

8.3. Kiểm nghiệm Epps-Pulley

Xem tài liệu tham khảo [2] đến [5]. Phép kiểm nghiệm này áp dụng đối với n ≥ 8. Các cỡ mẫu nhỏ, với n < 8, không hiệu quả lắm trong việc phát hiện sai lệch so với phân bố chuẩn.

Kiểm nghiệm Epps-Pulley là kiểm nghiệm vô hướng có hiệu lực cao hơn dựa trên nhiều đối giả thuyết. Kiểm nghiệm này sử dụng tích phân có trọng số của mô đun bình phương hiệu giữa các hàm đặc trưng của mẫu và của phân bố chuẩn.

Từ n quan trắc x_j(j = 1, 2, …,n) các đại lượng sau đây được tính:

                                               ... (13)

và

                                               … (14)

...

...

...

              … (15)

Thứ tự các giá trị quan trắc là tùy chọn nhưng đặc biệt chú ý đến thực tế là thứ tự được chọn phải duy trì không đổi trong toàn bộ tính toán.

Lưu đồ chương trình thể hiện việc tính toán thống kê kiểm nghiệm T_EP được cho trên Hình 8.

Hình 8 - Lưu đồ tính toán thống kê kiểm nghiệm T_EP của phép kiểm nghiệm Epps-Pulley

Giả thuyết không bị bác bỏ nếu giá trị tính được của thống kê kiểm nghiệm T_EP vượt quá p phân vị đối với mức ý nghĩa a và cỡ mẫu n. Các p phân vị của thống kê kiểm nghiệm T_EP đối với p = 1 - a = 0,90; 0,95; 0,975 và 0,99 được liệt kê trong Bảng 12.

VÍ DỤ 5: Ví dụ về việc sử dụng kiểm nghiệm Epps-Pulley như dưới đây. Bảng 5 thể hiện loạt 25 giá trị x_j, độ bền kéo đứt của sợi tơ nhân tạo, đo được trong các điều kiện tiêu chuẩn theo đơn vị tùy ý. Ngoài ra, giá trị chuyển đổi z_j = Ig (204 - x_j) được đưa ra, phân tán quanh đường thẳng trên giấy đồ thị xác suất chuẩn.

Bảng 5 - Độ bền kéo đứt của sợi tơ nhân tạo

x_j

...

...

...

z_j

chuyển đổi

x_j

đo được

z_j

chuyển đổi

147

186

141

...

...

...

190

123

155

164

183

150

134

...

...

...

144

1,756

1,255

1,799

1,322

1,146

1,908

1,690

...

...

...

1,322

1,732

1,845

1,531

1,778

99

156

176

...

...

...

174

153

162

167

179

78

173

...

...

...

2,021

1,681

1,447

1,643

1,477

1,708

1,623

1,568

...

...

...

2,100

1,491

1,556

Từ Bảng 5 tìm được

T_EP(x) = 0,612

sử dụng chương trình máy tính ngắn và đơn giản. Đối với n = 25, bằng cách nội suy trong Bảng 12 tìm được p phân vị đối với p = 1 - a = 0,99 bằng 0,567. Giá trị T_EP(x) tính được vượt quá giá trị tới hạn này. Vì vậy giả thuyết không bị bác bỏ ở mức ý nghĩa 0,01 đối với các giá trị x_j.

Ngoài ra, từ Bảng 5 tìm được

T_EP(z) = 0,006

...

...

...

Ví dụ này minh họa thực tế đã được biết rõ là độ bền kéo đứt của sợi tơ nhân tạo được phân bố theo phân bố chuẩn logarit.

VÍ DỤ 6: Ví dụ sau đây minh họa chi tiết cách tính thống kê kiểm nghiệm T_EP theo công thức (15).

Cột thứ hai của Bảng 6 thể hiện n = 10 giá trị x_j sử dụng để thực hiện kiểm nghiệm Epps-Pulley. Theo công thức (13) và (14),  = 10,4 và m₂ = 11,858 0 được tính.

Tổng kép trong số hạng thứ ba của công thức (15) là chuỗi hữu hạn (n - 1) chuỗi con, chuỗi con đầu tiên trong số đó có một số hạng và chuỗi con cuối cùng có (n - 1) số hạng.

Đối với chuỗi con đầu tiên, chỉ số cố định là k = 2 và số hạng duy nhất của chuỗi này là

thu được đối với j = 1. Trong chuỗi con thứ hai, chỉ số cố định là k = 3; chuỗi này có hai số hạng

 và

thu được đối với j = 1 và j = 2. Trong chuỗi con cuối cùng, chỉ số cố định là k = 10 và chín số hạng là

...

...

...

thu được đối với j = 1, 2, 3,..., 9.

Các số hạng đối với chuỗi con n - 1 = 9 được liệt kê trong cột thứ ba đến mười một của Bảng 6.

Cột thứ mười hai thể hiện n = 10 số hạng đối với tổng trong số hạng thứ tư của công thức (15).

Bảng 6 - Độ bền kéo đứt của sợi tơ nhân tạo - Tính thống kê kiểm nghiệm T_EP

j

x_j

...

...

...

j = 1

k = 3

j = 1,2

k = 4

j = 1..3

k = 5

j = 1..4

k = 6

j = 1..5

...

...

...

j = 1..6

k = 8

j = 1..7

k = 9

j = 1..8

k = 10

j =1..9

j = 1..10

1

...

...

...

0,9996

0,8977

0,2192

0,2083

0,1684

0,0769

0,0587

0,0304

0,0205

...

...

...

2

5,0

-

0,9095

0,2304

0,2192

0,1778

0,0821

0,0629

...

...

...

0,0222

0,5407

3

6,5

-

-

0,4421

0,4258

0,3633

...

...

...

0,1593

0,0933

0,0673

0,7257

4

10,9

-

-

-

...

...

...

0,9895

0,8723

0,8154

0,6668

0,5790

0,9947

5

11,0

-

...

...

...

-

-

0,9933

0,8853

0,8303

0,6842

0,5966

0,9924

6

...

...

...

-

-

-

-

-

0,9312

0,8853

0,7520

0,6668

...

...

...

7

12,7

-

-

-

-

-

-

0,9933

...

...

...

0,8723

0,8945

8

13,1

-

-

-

-

-

...

...

...

-

0,9664

0,9207

0,8575

9

14,0

-

-

-

...

...

...

-

-

-

-

0,9895

0,7609

10

14,5

-

...

...

...

-

-

-

-

-

-

-

0,7016

Tổng

...

...

...

0,9996

1,8072

0,8916

1,8528

2,6923

3,0455

3,8052

4,1573

4,7350

...

...

...

Tổng cộng

23,9865

Mỗi trong số mười cột cuối của Bảng 6, tổng của chúng đều được tính và nhập ở cuối cột.

Tất cả 45 số hạng thuộc về tổng trong số hạng thứ ba của công thức (15) được cộng lại thành giá trị tổng cộng

 = 23,9865

Cuối cùng công thức (15) được tính bằng

 = 0,2914

...

...

...

9. Kiểm nghiệm sử dụng đồng thời nhiều mẫu độc lập

Kiểm nghiệm này áp dụng cho nhiều mẫu, mỗi mẫu cỡ n với n ≥ 8, tuy nhiên, vì lý do thực tế, Bảng 13 giới hạn ở n ≤ 50. Cơ sở giả định là các mẫu độc lập được lấy từ cùng một tổng thể.

Trong nhiều trường hợp, cần kiểm nghiệm sai lệch so với phân bố chuẩn bằng cách sử dụng nhiều mẫu độc lập vì từng mẫu độc lập quá nhỏ để phát hiện ngay cả sai lệch đáng kể so với phân bố chuẩn. Trong trường hợp này, kiểm nghiệm Shapiro-Wilk được áp dụng.

Đối với h mẫu liên tiếp lấy từ cùng một tổng thể mỗi mẫu có cỡ n, các giá trị W_j (j = 1, 2, …, h) được tính theo công thức (12). Đối với kiểm nghiệm kết hợp các giá trị tương ứng G_j được tính từ quan hệ sau đây:

                                               … (16)

trong đó

                                               … (17)

Các hệ số g(n), d(n) và e(n) dùng để chuyển đổi W_j thành biến G_j được lấy từ Bảng 13.

Trong trường hợp phân bố đang xét là chuẩn thì biến G_j gần như tuân theo phân bố chuẩn chuẩn hóa.

...

...

...

                                               … (18)

và thống kê kiểm nghiệm là .

Giả thuyết không bị bác bỏ ở mức ý nghĩa a nếu

                                               ... (19)

trong đó u_p = u_1-a là p phân vị của phân bố chuẩn chuẩn hóa.

VÍ DỤ 7: Ví dụ về việc sử dụng kiểm nghiệm kết hợp sử dụng nhiều mẫu độc lập như dưới đây. h = 22 mẫu ngẫu nhiên, mỗi mẫu cỡ n = 20 được lấy từ cùng một tổng thể và đặc trưng X của 20 cá thể này được đo. Đặc trưng này không được giả định là có phân bố chuẩn. Đối với mỗi trong số các mẫu này, các giá trị tương ứng W_j (j = 1, 2, … 22) được tính theo công thức (12). Trong Bảng 7 liệt kê 22 giá trị W_j. Từ Bảng 13, các hệ số sau đây được lấy ra:

g(20) = -5,153; d(20) = 1,802; e (20) = 0,2359

Sử dụng các con số này, 22 giá trị tương ứng của G_j được tính theo công thức (16) và (17), đồng thời cũng được liệt kê trong Bảng 7.

Theo Bảng 11 giá trị tới hạn của thống kê W là 0,868 đối với n = 20 ở mức ý nghĩa a = 0,01. Từ Bảng 14, giá trị tới hạn cho  là

...

...

...

ở mức ý nghĩa a = 0,01.

Bảng 7 - Giá trị của W_j và G_j đối với 22 mẫu cỡ n = 20 được lấy từ cùng một tổng thể

Mẫu số

j

W_j

G_j

1

0,9543

-0,189

...

...

...

0,9645

+0,292

3

0,9148

-1,413

4

0,8864

-2,008

5

...

...

...

-0,059

6

0,9158

-1,389

7

0,9462

-0,503

8

0,9277

...

...

...

9

0,9639

+0,260

10

0,9363

-0,833

11

0,9067

-1,598

...

...

...

0,9218

-1,240

13

0,9551

-0,155

14

0,9338

-0,909

15

...

...

...

-0,009

16

0,9088

-1,552

17

0,9028

-1,683

18

0,8947

...

...

...

19

0,9488

-0,407

20

0,9445

-0,563

21

0,9471

-0,470

...

...

...

0,9451

-0,542

Tổng

-17,902

Nếu bất kỳ trong số 22 mẫu này được xử lý riêng thì không mẫu nào có thể cho thấy sai lệch so với phân bố chuẩn ở mức ý nghĩa a = 0,01 vì không một giá trị nào của W_j nhỏ hơn giá trị tới hạn 0,868 và không giá trị nào của G_j nhỏ hơn giá trị tới hạn - 2,326.

Tuy nhiên, đánh giá kết hợp tất cả 22 mẫu được

 = - 17,902 / 22 = - 0,814

và

...

...

...

Giá trị này được so với giá trị tới hạn -u_p = - 2,326 ở mức ý nghĩa a = 0,01 đã cho. Vì giá trị tính được - 3,82 nằm dưới giá trị tới hạn này nên giả thuyết không bị bác bỏ ở mức ý nghĩa a = 0,01.

10. Bảng thống kê

Bảng 8 - Kiểm nghiệm độ bất đối xứng,

(p phân vị của  đối với p = 1 - a = 0,95 và 0,99)

n

p

n

p

0,95

...

...

...

0,95

0,99

8

9

10

12

15

20

...

...

...

30

35

40

45

50

60

70

80

...

...

...

100

125

150

170

200

250

300

350

...

...

...

0,97

0,95

0,91

0,85

0,77

0,71

0,66

0,62

...

...

...

0,56

0,53

0,49

0,46

0,43

0,41

0,39

0,35

...

...

...

0,32

0,30

0,28

0,25

0,23

0,21

1,42

1,41

1,39

...

...

...

1,26

1,15

1,06

0,98

0,92

0,87

0,82

0,79

...

...

...

0,72

0,67

0,63

0,60

0,57

0,51

0,46

0,43

...

...

...

0,36

0,33

0,30

400

450

500

550

600

650

...

...

...

700

750

800

850

900

950

1000

1200

...

...

...

1600

1800

2000

2500

3000

3500

4000

4500

...

...

...

0,20

0,19

0,18

0,17

0,16

0,16

0,15

0,15

...

...

...

0,14

0,13

0,13

0,13

0,12

0,11

0,10

0,10

...

...

...

0,08

0,07

0,07

0,06

0,06

0,06

0,28

0,27

...

...

...

0,24

0,23

0,22

0,22

0,21

0,20

0,20

0,19

...

...

...

0,18

0,16

0,15

0,14

0,13

0,13

0,11

...

...

...

0,10

0,09

0,08

0,08

CHÚ THÍCH: Lấy từ tài liệu tham khảo [6] và [7].

Bảng 9 - Kiểm nghiệm độ nhọn, b₂ (p phân vị của b₂ đối với p = a = 0,01 và 0,05 và p = 1 - a = 0,95 và 0,99

n

p

P

...

...

...

0,05

0,95

0,99

8

9

10

12

15

...

...

...

25

30

35

40

45

50

75

100

...

...

...

125

150

200

250

300

350

400

450

...

...

...

550

600

650

700

750

800

850

...

...

...

950

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2500

...

...

...

3000

3500

4000

4500

5000

1,31

1,35

1,39

1,46

...

...

...

1,55

1,65

1,72

1,79

1,84

1,89

1,93

1,95

...

...

...

2,18

2,24

2,29

2,37

2,42

2,46

2,50

...

...

...

2,55

2,57

2,58

2,60

2,61

2,62

2,64

2,65

...

...

...

2,66

2,66

2,67

2,68

2,71

2,72

2,74

2,76

...

...

...

2,79

2,81

2,82

2,83

2,84

2,85

1,46

1,53

...

...

...

1,64

1,72

1,82

1,91

1,98

2,03

2,07

...

...

...

2,15

2,27

2,35

2,40

2,45

2,51

2,55

2,59

...

...

...

2,62

2,64

2,66

2,67

2,69

2,70

2,71

2,72

...

...

...

2,74

2,74

2,75

2,76

2,76

2,78

2,80

...

...

...

2,82

2,83

2,85

2,86

2,87

2,88

2,88

2,89

...

...

...

3,86

3,95

4,05

4,13

4,17

4,16

4,11

4,10

...

...

...

4,06

4,00

3,99

3,87

3,77

3,71

3,65

3,57

...

...

...

3,47

3,44

3,41

3,39

3,37

3,35

3,34

...

...

...

3,31

3,30

3,29

3,28

3,28

3,27

3,26

3,24

...

...

...

3,22

3,21

3,20

3,18

3,16

3,15

3,14

3,13

...

...

...

3,12

4,53

4,82

5,00

5,20

5,30

5,36

5,30

...

...

...

5,13

5,04

4,94

4,88

4,59

4,39

4,24

...

...

...

3,98

3,87

3,79

3,72

3,67

3,63

3,60

3,57

...

...

...

3,54

3,52

3,50

3,48

3,46

3,45

3,43

3,42

...

...

...

3,37

3,34

3,32

3,30

3,28

3,25

3,22

...

...

...

3,19

3,18

3,17

CHÚ THÍCH: Lấy từ tài liệu tham khảo [7] và [8].

a) Các đường cong mô tả miền tới hạn ở mức ý nghĩa a = 0,05

CHÚ THÍCH: Lấy từ Tài liệu tham khảo [9].

Hình 9 - Kiểm nghiệm kết hợp sử dụng  và b₂ (kiểm nghiệm đa hướng)

...

...

...

CHÚ THÍCH: Lấy từ Tài liệu tham khảo [9].

Hình 9 - Kiểm nghiệm kết hợp sử dụng  và b₂ (kiểm nghiệm đa hướng)

Bảng 10 - Hệ số a_k kiểm nghiệm Shapiro-Wilk dùng cho tính toán thống kê kiểm nghiệm W

k

n

...

...

...

8

9

10

1

2

3

4

...

...

...

-

-

-

-

-

-

-

-

-

...

...

...

-

-

-

-

-

-

-

-

-

...

...

...

-

-

-

-

-

-

-

-

-

...

...

...

-

-

-

-

-

0,605 2

0,316 4

0,174 3

0,056 1

...

...

...

0,588 8

0,324 4

0,197 6

0,094 7

-

0,573 9

0,329 1

0,214 1

0,122 4

...

...

...

11

12

13

14

15

16

17

18

...

...

...

20

1

2

3

4

5

6

7

...

...

...

9

10

0,560 1

0,331 5

0,226 0

0,142 9

0,069 5

-

...

...

...

-

-

-

0,547 5

0,332 5

0,234 7

0,158 6

0,092 2

...

...

...

-

-

-

-

0,535 9

0,332 5

0,241 2

0,170 7

0,109 9

...

...

...

0,053 9

-

-

-

-

0,525 1

0,331 8

0,246 0

0,180 2

...

...

...

0,072 7

0,024 0

-

-

-

0,515 0

0,330 6

0,249 5

...

...

...

0,135 3

0,098 0

0,043 3

-

-

-

0,505 6

0,329 0

...

...

...

0,193 9

0,144 7

0,100 5

0,059 3

0,019 6

-

-

0,496 8

...

...

...

0,254 0

0,198 8

0,152 4

0,110 9

0,072 5

0,035 9

-

-

...

...

...

0,325 3

0,255 3

0,202 7

0,158 7

0,1197

0,083 7

0,049 6

0,016 3

...

...

...

0,480 8

0,323 2

0,256 1

0,205 9

0,164 1

0,127 1

0,093 2

0,061 2

...

...

...

-

0,473 4

0,321 1

0,256 5

0,208 5

0,168 6

0,133 4

0,101 3

...

...

...

0,042 2

0,014 0

21

22

23

24

25

26

...

...

...

28

29

30

1

2

3

4

5

...

...

...

7

8

9

10

11

12

13

14

...

...

...

0,464 3

0,318 5

0,257 8

0,211 9

0,173 6

0,139 9

0,109 2

0,080 4

...

...

...

0,026 3

-

-

-

-

0,459 0

0,315 6

...

...

...

0,213 1

0,176 4

0,144 3

0,115 0

0,087 8

0,061 8

0,036 8

...

...

...

-

-

-

-

0,454 2

0,312 6

0,256 3

0,213 9

0,178 7

...

...

...

0,148 0

0,120 1

0,094 1

0,069 6

0,045 9

0,022 8

-

-

...

...

...

-

0,449 3

0,309 8

0,255 4

0,214 5

0,180 7

0,151 2

0,124 5

...

...

...

0,076 4

0,053 9

0,032 1

0,010 7

-

-

-

0,445 0

...

...

...

0,254 3

0,214 8

0,182 2

0,153 9

0,128 3

0,104 6

0,082 3

0,061 0

...

...

...

0,040 3

0,020 0

-

-

-

0,440 7

0,304 3

0,253 3

0,215 1

...

...

...